นักเรียนหลายคนที่เรียนคณิตศาสตร์ชั้นสูงในช่วงปีสุดท้ายอาจสงสัยว่า: สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) นำไปใช้ในทางปฏิบัติได้ที่ไหน ตามกฎแล้ว ปัญหานี้จะไม่ถูกกล่าวถึงในการบรรยาย และครูจะย้ายไปแก้ปัญหา DE ทันที โดยไม่ต้องอธิบายให้นักเรียนทราบถึงการใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในชีวิตจริง เราจะพยายามเติมช่องว่างนี้
เริ่มต้นด้วยการกำหนดสมการอนุพันธ์ ดังนั้น สมการอนุพันธ์คือสมการที่เชื่อมโยงค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกับฟังก์ชัน ค่าของตัวแปรอิสระและตัวเลขบางส่วน (พารามิเตอร์)
พื้นที่ทั่วไปส่วนใหญ่ที่ใช้สมการเชิงอนุพันธ์คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ พวกเขายังใช้ในการแก้ปัญหาที่ไม่สามารถสร้างความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างค่าบางอย่างที่อธิบายกระบวนการ ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นในชีววิทยา ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์
ในทางชีววิทยา:
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีความหมายแรกที่อธิบายชุมชนทางชีววิทยาคือแบบจำลอง Lotka - Volterra มันอธิบายประชากรของสองสายพันธุ์ที่มีปฏิสัมพันธ์ คนแรกเรียกว่าผู้ล่าในกรณีที่ไม่มีคนที่สองตายตามกฎหมาย x ′ = –ax (a> 0) และตัวที่สอง - เหยื่อ - ในกรณีที่ไม่มีผู้ล่าจะทวีคูณอย่างไม่มีกำหนดตามกฎหมาย ของมัลทัส ปฏิสัมพันธ์ของทั้งสองประเภทนี้มีรูปแบบดังนี้ เหยื่อเสียชีวิตในอัตราเท่ากับจำนวนการเผชิญหน้าของผู้ล่าและเหยื่อ ซึ่งในแบบจำลองนี้ถือว่าสัดส่วนกับขนาดของประชากรทั้งสอง นั่นคือ เท่ากับ dxy (d> 0) ดังนั้น y ′ = โดย - dxy นักล่าขยายพันธุ์ในอัตราสัดส่วนกับจำนวนเหยื่อที่กินเข้าไป: x ′ = –ax + cxy (c> 0) ระบบสมการ
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = โดย - dxy, (2)
นักล่าเหยื่อที่อธิบายประชากรดังกล่าวเรียกว่าระบบ Lotka-Volterra (หรือแบบจำลอง)
ในวิชาฟิสิกส์:
กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนในรูปของสมการอนุพันธ์ได้
ม. ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), โดยที่ m คือมวลของร่างกาย x คือพิกัด F (x, t) คือแรงที่กระทำต่อร่างกายด้วยพิกัด x ที่เวลา t ทางออกของมันคือวิถีของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงที่กำหนด
ในทางเศรษฐศาสตร์:
แบบจำลองการเติบโตตามธรรมชาติของผลผลิต
เราจะถือว่าสินค้าบางรายการขายในราคาคงที่ P ให้ Q (t) แทนจำนวนสินค้าที่ขาย ณ เวลา t; เมื่อถึงจุดนี้รายได้จะเท่ากับ PQ (t) ให้นำรายได้ส่วนหนึ่งไปลงทุนในการผลิตสินค้าที่ขายได้ กล่าวคือ
ผม (t) = mPQ (t), (1)
โดยที่ m คืออัตราการลงทุน - จำนวนคงที่และ 0